Question

观察下列不等式：

1

2

•1≥

1

1

•

1

2

，

1

3

•(1+

1

3

)≥

1

2

•(

1

2

+

1

4

)，

1

4

•(1+

1

3

+

1

5

)≥

1

3

•(

1

2

+

1

4

+

1

6

)，…，由此猜测第n个不等式为

 

．（n∈N*）

Answer 1

分析：通过观察前三个不等式左边的特点归纳猜测第n个不等式左边的式子，观察前三个不等式右边的特点归纳猜测第n个不等式右边的式子

解答：解：据观察三个已知不等式知第n个不等式的左边是两个因式的乘积
第一个因式是第n+1个正整数数的倒数；第二个因式前n个奇数倒数的和
据观察三个已知不等式知第n个不等式的右边也是两个因式的乘积
其中第一个因式是第n个正整数的倒数；第二个因式是前n个偶数倒数的和
故第n个不等式为

1

n+1

(1+

1

3

+

1

5

+…+

1

2n-1

)≥

1

n

(

1

2

+

1

4

+

1

6

+…+

1

2n

)
故答案为

1

n+1

(1+

1

3

+

1

5

+…+

1

2n-1

)≥

1

n

(

1

2

+

1

4

+

1

6

+…+

1

2n

)

点评：本题考查通过观察归纳猜测出结论．