题目内容

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若，求直线PQ的方程；

（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.

 

答案：
解析：

（1）解：由题意，可设椭圆的方程为.

  由已知得

解得

所以椭圆的方程为，离心率.

（2）解：由（1）可得A（3，0）.

设直线PQ的方程为.由方程组

得

依题意，得.

设，则

，     ①    .    ②

由直线PQ的方程得.于是

.    ③

∵，∴.    ④

由①②③④得，从而.

所以直线PQ的方程为或

（2）证明：.由已知得方程组

注意，解得

因，故

.

而，所以

.

 


练习册系列答案
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椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2
2
，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若
OP
•
OQ
=0，求直线PQ的方程；
（3）设
AP
=λ
AQ
（λ＞1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明
FM
=-λ
FQ
．
椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2
2
，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若
OP
•
OQ
=0，求直线PQ的方程．
椭圆的中心是原点O，短轴长为2
3
，左焦点为F（-c，0）（c＞0），相应的准线l与x轴交于点A，且点F分
AO
的比为3，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若PF⊥QF，求直线PQ的方程；
（Ⅲ）设
AQ
=λ
AP
（λ＞1），点Q关于x轴的对称点为Q′，求证：
FQ′
=-λ
FP
．
（2013•烟台二模）已知椭圆的中心是原点O，焦点在x轴上，过其右焦点F作斜率为1的直线l交椭圆于A．B两点，若椭圆上存在一点C，使四边形OACB为平行四边形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若△OAC的面积为15
5
，求这个椭圆的方程．

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点 .

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若，求直线PQ的方程；

（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.

 

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