题目内容

椭圆G： $数学公式$ （a＞b＞0）的两个焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），M是椭圆上一点．
（1）若M的坐标为（2，0），椭圆的离心率 $数学公式$ ，求a，b的值；
（2）若 $数学公式$ ．
①求椭圆的离心率e的取值范围；
②当椭圆的离心率e取最小值时，点N（0，3）椭圆上的点的最远距离为 $数学公式$ ，求此时椭圆G的方程．

解：（1）由椭圆G： $\text{[math]}$ （a＞b＞0）及椭圆上的一点M的坐标为（2，0）
可知a=2，
又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴c= $\text{[math]}$ ，b=1，∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）①设M（x₀，y₀），
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，
∴（x₀+c，y₀）•（x₀-c，y₀）=0， $\text{[math]}$ ，
∵0≤x₀≤a²
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$
②当 $\text{[math]}$ 时，设椭圆G的方程为 $\text{[math]}$
设H（x，y）为椭圆上一点，则|HN|²；；=x²+（y-3）²；；=-（y+3）²+2b²+18，（-b≤y≤b），
若0＜b＜3，|HN|²的最大值b²+6b+9=50得 $\text{[math]}$ （舍去），
若b≥3，|HN|²的最大值2b²+18=50得b²=16，∴所求的椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意知，M的坐标为（2，0）即椭圆的长轴上的顶点，故 a=2，再由离心率的值求出半焦距c，从而求出b，即得
椭圆的标准方程．
（2）①设M的坐标，由若 $\text{[math]}$ 和椭圆的方程，解出M的横坐标的平方，再利用M的横坐标的平方
大于或等于0，且小于或等于a²；，求出离心率的平方的范围，进而得到离心率的范围．
②当 $\text{[math]}$ 时，设椭圆G的方程（含参数b），设H（x，y）为椭圆上一点，化简|HN|²，利用其最大值，分类讨论求出参数
b的值，即得椭圆G的方程．
点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，利用两个向量的数量积公式及椭圆的性质解决具体问题，体现了分类讨论的数学思想．