Question

如图椭圆G：（a＞b＞0）的两个焦点为F1（-c，0）、F2（c，0）和顶点B1、B2构成面积为32的正方形．
（1）求此时椭圆G的方程；
（2）设斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B、Q为AB的中点，且P（0，-）．问：A、B两点能否关于直线PQ对称．若能，求出kk的取值范围；
若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得b=c且a²=32，可求椭圆方程
（2）设直线L的方程为y=kx+m，代入．由直线l与椭圆相交于不同的两点可得△＞0即m²＜32k²+16，要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，必须，利用方程的根与系数的关系代入得，从而可求k得范围
解答：解（1）：由已知可得b=c且a²=32，
所以．∴所求椭圆方程为．
（2）设直线L的方程为y=kx+m，代入．

得（1+2k²）x²+4kmx+（2m²-32）=0．
由直线l与椭圆相交于不同的两点知△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-32）＞0，
m²＜32k²+16．②
要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，必须
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），则，
∵
解得．③
由②、③得
∴，
∵k²＞0，∴
∴．．
故当时，A、B两点关于过点P、Q的直线对称．
点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，点关于直线的对称得性质的应用．