题目内容
已知：函数
，
有唯一的根．（1）求a，b的值；
（2）数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f（an-1），a1=1；求出数列{an}的通项公式．
（3）是否存在这样的数列{bn}满足：{bn}为{an}的子数列（即{bn}中的每一项都是{an}的项）且{bn}为无穷等比数列，它的各项和为
．若存在，找出所有符合条件的数列{bn}，写出它的通项公式，并说明理由；若不存在，也需说明理由．
【答案】分析：（1）由
解法一：f（x）=x 有唯一根，所以
，则可得△=（b-1）2=0，从而可求a，b
解法二：
=x 即x（
-1）=0，由方程有唯一的根可得
-1=0的根也是x=0，从而可求a，b
（2）由
，从而可得{
}为等差数列，可求
（3）结合（2）可设{bn} 的首项为
，公比为q （
）由无穷等比数列的各项和为：
，可得
；当m=3 时，
，
；
当
若当m=1，m=2 时，显然不符合条件．，m＞4，则由
可得
与
矛盾从而可求．
解答：解：（1）
（1分）
解法一：f（x）=x 有唯一根，所以
，（1分）
∴△=（b-1）2=0，（1分）
b=1 a=1 （1分）
有 b=1 a=1 得：方程的根为：x=0（1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
解法二：
=x
x（
-1）=0（1分）
x1=0，因为方程有唯一的根（1分）
即：
-1=0的根也是x=0，（1分）
得b=1 a=1 （1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
（2）
（2分）
∴{
}为等差数列 （1分）
∴
（2分）
所以
（1分）
（3）设{bn} 的首项为
，公比为q （
）（1分）
所以这个无穷等比数列的各项和为：
，（1分）
；当m=3 时，
，
；
当
（2分）
若当m=1，m=2 时，显然不符合条件．
m＞4，则
∴
与
矛盾．
∴只有两个符合条件的数列．（2分）
点评：本题主要考查了函数与数列的综合知识的应用，解题的关键熟练掌握函数与数列的性质并能灵活应用．
解法一：f（x）=x 有唯一根，所以
，则可得△=（b-1）2=0，从而可求a，b解法二：
=x 即x（-1）=0，由方程有唯一的根可得-1=0的根也是x=0，从而可求a，b（2）由
，从而可得{ }为等差数列，可求（3）结合（2）可设{bn} 的首项为
，公比为q （ ）由无穷等比数列的各项和为：，可得；当m=3 时，，；当
若当m=1，m=2 时，显然不符合条件．，m＞4，则由可得 与 矛盾从而可求．解答：解：（1）
（1分）解法一：f（x）=x 有唯一根，所以
，（1分）∴△=（b-1）2=0，（1分）
b=1 a=1 （1分）
有 b=1 a=1 得：方程的根为：x=0（1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
解法二：
=x x（
-1）=0（1分） x1=0，因为方程有唯一的根（1分）
即：
-1=0的根也是x=0，（1分）得b=1 a=1 （1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
（2）
（2分）∴{
}为等差数列 （1分） ∴
（2分）所以
（1分）（3）设{bn} 的首项为
，公比为q （ ）（1分）所以这个无穷等比数列的各项和为：
，（1分）；当m=3 时，，；当
（2分）若当m=1，m=2 时，显然不符合条件．
m＞4，则
∴ 与 矛盾．∴只有两个符合条件的数列．（2分）
点评：本题主要考查了函数与数列的综合知识的应用，解题的关键熟练掌握函数与数列的性质并能灵活应用．
练习册系列答案
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有唯一的根．
．若存在，找出所有符合条件的数列{bn}，写出它的通项公式，并说明理由；若不存在，也需说明理由．
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有唯一的根．
为等差数列，并求出{an}的通项公式．
．若存在，找出一个符合条件的数列{bn}，写出它的通项公式；若不存在，说明理由．