Question

已知：函数，有唯一的根．
（1）求a，b的值；
（2）数列{a_n}对n≥2，n∈N总有a_n=f（a_n-1），a₁=1；求证为等差数列，并求出{a_n}的通项公式．
（3）是否存在这样的数列{b_n}满足：{b_n}为{a_n}的子数列（即{b_n}中的每一项都是{a_n}的项）且{b_n}为无穷等比数列，它的各项和为．若存在，找出一个符合条件的数列{b_n}，写出它的通项公式；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据f（2）的值建立关于a和b的等量关系，
解法一：根据f（x）=x 有唯一根，可得ax²+（b-1）x=0有唯一根，利用判别式进行求解，求出a和b的值；
解法二：根据f（x）=x 有唯一根，可得x（-1）=0，解得一根为0，从而-1=0的根也是x=0，可求出a和b的值；
（2）将取倒数，化简可得{}为等差数列，从而求出{a_n}的通项公式．
（3）设{b_n} 的首项为，公比为q，然后求出这个无穷等比数列的各项和可得到m和q的等量关系，然后任意求出一组符合题意数列即可．
解答：解：（1） （1分）
解法一：f（x）=x 有唯一根，所以即ax²+（b-1）x=0有唯一根，（1分）
∴△=（b-1）²=0，（1分）
b=1 a=1 （1分）
有 b=1 a=1 得：方程的根为：x=0（1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
解法二：=x
x（-1）=0（1分）
x₁=0，因为方程有唯一的根（1分）
即：-1=0的根也是x=0，（1分）
得b=1 a=1 （1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
（2） （2分）
∴{ }为等差数列（1分）
∴ （2分）
所以 （1分）
（3）设{b_n} 的首项为，公比为q （ ）
所以这个无穷等比数列的各项和为：
，；
当m=3 时，，；
当， （6分）
点评：本题主要考查了等差数列的判定和数列的求和，同时考查了方程的根的有关问题，属于中档题．