Question

（本题满分12分）定义在上的函数是最小正周期为2的奇函数, 且当时, .

（1）求在上的解析式；

（2）用单调性定义证明在上时减函数；

（3）当取何值时, 不等式在上有解.

Answer 1

（1）；（2）证明略；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用函数的奇偶性求出函数的解析式；（2）利用函数的单调性进行证明；（3）先求出的值域，，再利用不等式在R上有解的的取值范围就是小于在R上的最大值.

解题思路:要记住一个结论：若奇函数在处有意义，则.

试题解析：（1）当x∈（ 1, 0）时, x∈（0, 1）. ∴. .2分

又是奇函数, .∴. ∵,

∴

∴在（ 1, 1）上的解析式为

4分

（2）证明略； .7分

（3）不等式在R上有解的λ的取值范围就是λ小于f（x）在R上的最大值.

又f（x）是最小正周期为2的函数, ∴对任意的x有f（x+2）= f（x）.∴f（ 1）= f（ 1+2）= f（1）. 另一面f（ 1）= f（1）, ∴ f（1）= f（1） . ∴f（1） = f（ 1）=0.∴f（x）在上的解析式为

8分

当x∈（ 1, 0）时，有 < f（x）= < ； 9分

又f（x）是奇函数,当x∈（0, 1）时，f（x）在（0, 1）上也是减函数,

∴< f（x）＝<.. ∴f（x）在[ 1, 1]上的值域是（ , ）∪｛0｝∪（, ）.

由f（x）的周期是2；故f（x）在R上的值域是（ , ）∪｛0｝∪（, ） .11分

λ＜时，不等式f（x）＞λ在R上有解.

考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的值域.