Question

若函数f(x)=log2(3x+

12

x

+a)，且f（x）＞4对定义域内的所有x恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：本题考查的是函数的最值问题．在解答时首先要注意到定义域优先原则，然后可以先对f（x）＞4对定义域内的所有x恒成立进行转化，进而得到0＜3x+

12

x

+a≤24对与所有的R恒成立，然后游离参数只需要求函数y=16-3x-

12

x

和函数y=-3x-

12

x

的最值即可．综上即可获得问题的解答．

解答：解：由函数f(x)=log2(3x+

12

x

+a)，且f（x）＞4对定义域内的所有x恒成立．函数的定义域是（0，+∞）
可知3x+

12

x

+a＞24对定义域内的所有x恒成立，
x＞0时，3x+

12

x

≥2

3x× 12 x

=12
由此知12+a＞16，a＞4．
∴a的取值范围是：4＜a．
故答案为：4＜a．

点评：本题考查的是函数的最值问题．在解答的过程当中充分体现了函数定义域的重要性、恒成立问题的解答规律以及问题转化的思想在题目当中的灵活应用．值得同学们体会反思．