Question

边长为2a的正方形ABCD的中心为O，过点O作平面ABCD的垂线，在其上取点V，使OV=h，连接VA，VB，VC，VD，取VC的中点E．
求：（1）cos＜

BE

，

DE

＞；
（2）若BE⊥VC，求cos＜

BE

，

DE

＞．

Answer 1

分析：（1）以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，算出A、B、C、D、V、E各点的坐标，从而得到

BE

=（-

3a

2

，-

a

2

，

h

2

），

DE

=（

a

2

，

3a

2

，

h

2

），再利用空间向量的夹角公式加以计算，即可得出cos＜

BE

，

DE

＞的值．
（2）若BE⊥VC，则

BE

•

DE

=

1

4

h2-

3

2

a2=0，解之得h=

2

a，再代入（1）中求出的cos＜

BE

，

DE

＞表达式，即可算出cos＜

BE

，

DE

＞的值．

解答：解：（1）以O为原点，AB、BC的中点分别在x、y轴上，
建立如图所示空间直角坐标系，可得A（a，-a，0），B（a，a，0），
C（-a，a，0），D（-a，-a，0），V（0，0，h），E（-

a

2

，

a

2

，

h

2

）．
∴

BE

=（-

3a

2

，-

a

2

，

h

2

），

DE

=（

a

2

，

3a

2

，

h

2

），
可得

BE

•

DE

=-

3a

2

•

a

2

+（-

a

2

）•

3a

2

+

h

2

•

h

2

=

1

4

h2-

3

2

a2，

|BE|

=

(- 3a 2 )2+(- a 2 )2+( h 2 )2

=

1 4 h2+ 5 2 a2

，

|DE|

=

( a 2 )2+( 3a 2 )2+( h 2 )2

=

1 4 h2+ 5 2 a2

，
∴cos＜

BE

，

DE

＞=

BE • DE

|BE| • |DE|

=

1 4 h2- 3 2 a2

1 4 h2+ 5 2 a2 • 1 4 h2+ 5 2 a2

=

h2-6a2

h2+10a2

；
（2）∵BE⊥VC，
∴

BE

•

DE

=0，可得

1

4

h2-

3

2

a2=0，解之得h=

2

a．
由（1）得cos＜

BE

，

DE

＞=

h2-6a2

h2+10a2

=

2a2-6a2

2a2+10a2

=-

1

3

．

点评：本题给出特殊的正四棱锥，求

BE

、

DE

所成角的余弦之值，着重考查了利用空间向量研究空间直线所成角的知识，属于中档题．