Question

【题目】已知函数的图像关于直线对称，且.

（1）求的表达式；

（2）若将图像上各点的横坐标变为原来的，再将所得图像向右平移个单位，得到的图像，且关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）

（2）或

【解析】

（1）由三角恒等变换可得，再结合函数图像的对称性即可求出；

（2）由三角函数图像的变换可得：将图像上各点的横坐标变为原来的，再将所得图像向右平移个单位，得到的图像，则，再作出函数在区间的图像，再观察函数的图像与直线在区间上的交点个数即可.

解：（1）因为，

又函数的图像关于直线对称，

则，解得，

又，即，

即，

（2）将图像上各点的横坐标变为原来的，得函数图像所对应的解析式为，再将所得图像向右平移个单位，得到的图像，则，

由关于的方程在区间上有且只有一个实数解，

则函数的图像与直线在区间上有且只有一个交点，

又函数在区间上的图像如图所示，

则数的图像与直线在区间上有且只有一个交点时，或，

即实数的取值范围为或.