Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝,OA⊥底面ABCD，OA=2,M为OA的中点.。

（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离.

Answer 1

解：方法一（综合法）：

（Ⅰ）∵CD∥AB

∴为异面直线AB与MD所成的角（或其补角），

作于点P，连接MP，

∵，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴AB与MD所成角的大小为。

（Ⅱ）∵AB∥平面OCD，∴点B和点A到平面OCD的距离相等。连接OP，过点A作

于点Q，

∵，∴

∴，∴，

又∵， ，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离。

∵，

，

∴，∴点B到平面OCD的距离为。

方法二（向量法）：

作于点P，如图，分别以AB、AP、AO所在直线为、、轴建立直线坐标系。

（Ⅰ）设AB与MD所成角为，

∵，

∴

∴

∴AB与MD所成角的大小为。

（Ⅱ）∵

∴设平面OCD的法向量为，则

，

得

取，解得，设点B到平面OCD的距离为，则为在向量上的投影的绝对值。

∵，∴，

所以，点B到平面OCD的距离为。