题目内容

已知抛物线y=x²，直线y=kx+2，直线与抛物线所围成封闭图形的面积记为S（k）．
（1）当k=1时，求出此时S（k）对应的值；
（2）写出S（k）的表达式，并求出对应的最大和最小值．

解：（1）将y=x+2代入y=x²，得x=-1或x=2
∴S（1）=∫_-1²（x+2-x²）dx=（ $\text{[math]}$ +2x- $\text{[math]}$ ）|_-1²=（2+4- $\text{[math]}$ ）-（ $\text{[math]}$ -2+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∴S（1）= $\text{[math]}$
（2）将y=kx+2代入y=x²，得x₁= $\text{[math]}$ 或x₂= $\text{[math]}$ ，
∴x₁-x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁+x₂=k，x₁x₂=-2
∴S（k）= $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ +2x- $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ +2x₁- $\text{[math]}$ x₁³）-（ $\text{[math]}$ +2x₂- $\text{[math]}$ x₂³）=（x₁-x₂）[ $\text{[math]}$ （x₁+x₂）+2- $\text{[math]}$ ]=- $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ +2- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
设t= $\text{[math]}$ ，则t $\text{[math]}$ ，则y= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴S（k）= $\text{[math]}$ ，此函数的最小值为 $\text{[math]}$ ，无最大值
分析：（1）先将两曲线联立，求得交点横坐标，用来确定积分区间，再根据定积分的几何意义，将所求面积转化为求定积分问题，最后由微积分基本定理计算结果即可
（2）先将两曲线联立，得曲线交点的横坐标x₁、x₂，从而得x₁-x₂，x₁+x₂，x₁x₂的值（用k表示），再根据定积分的几何意义，将所求面积转化为求定积分问题，最后由微积分基本定理计算，将结果用x₁-x₂，x₁+x₂，x₁x₂表示，代入即可得函数S（k）的表达式，最后利用换元法求函数的值域即可
点评：本题综合考查了定积分的几何意义，利用微积分基本定理求定积分的方法，一元二次方程根与系数的关系及其应用