Question

2．求下列各曲线的标准方程
（1）椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点A（0，-1），且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求椭圆的标准方程；
（2）已知双曲线过点（4，$\sqrt{3}$），且渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x，则该双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标带入椭圆的标准方程便可得出b=1，而根据离心率便可得到$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，再由a²=b²+c²便可求出a²，这样即可得出椭圆的标准方程；
（2）可根据双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=m$，而将点（4，$\sqrt{3}$）带入双曲线方程便可求出m，从而得出该双曲线的标准方程．

解答 解：（1）椭圆经过点A；
∴$\frac{{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（-1）^{2}}{{b}^{2}}=1$；
∴b=1；
离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴a²=2c²；
又a²=b²+c²=1+c²；
∴c²=1，a²=2；
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）根据双曲线的渐近线方程为y=$±\frac{1}{2}x$，可设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=m$；
又双曲线经过点$（4，\sqrt{3}）$；
∴$\frac{16}{4}-3=m$；
∴m=1；
∴双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$．

点评 考查椭圆、双曲线的标准方程，椭圆的离心率，以及双曲线的渐近线方程和双曲线标准方程的关系，曲线上的点的坐标和曲线方程的关系．