Question

如图，在半径为30cm的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB=xcm，圆柱的体积为Vcm³．
（1）写出体积V关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得，
设圆柱底面半径为r，则，即可得出r．
利用V=πr²•x（其中0＜x＜30）即可得出．
（2）利用导数V′，得出其单调性即可．
解答：解：（1）连接OB，在Rt△OAB中，∵AB=x，∴，
设圆柱底面半径为r，则，
即4πr²=900-x²，
∴V=πr²•x==．
其中0＜x＜30．
（2）由=0，得．
由V′＞0解得；由V′＜0解得．
因此V在（0，）上是增函数，在（，30）上是减函数．
所以当时，V有最大值．
点评：熟练掌握勾股定理、圆柱的体积计算公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值等是解题的关键．