Question

如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．
（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；
（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积．

Answer 1

解：如图所示，（1）连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则
AB=2（其中0＜x＜30），
∴S=2x=2≤x²+（900﹣x²）=900，
当且仅当x²=900﹣x²，即x=15时，S取最大值900；
所以，取BC=cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm²。
（2）设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V，
由AB=2=2πr，得r=，
∴V=πr²h=（900x﹣x³），（其中0＜x＜30）；
由V'=（900﹣3x²）=0，得x=10；
因此V=（900x﹣x³）在上是增函数，在（10，30）上是减函数；
∴当x=10时，V的最大值为，
即取BC=10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm³．