Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别是BC和CC₁的中点，已知AB=AC=AA₁=4，∠BAC=90°．
（1）求证：B₁D⊥平面AED；
（2）求二面角B₁-AE-D的余弦值；
（3）求三棱锥A-B₁DE的体积．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：向量法：
（1）建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能证明B₁D⊥平面AED．
（2）分别求出平面AED的法向量和平面 B₁AE的法向量，利用向量法能求出二面角B₁-AE-D的余弦值．
（3）利用向量法求出AD⊥DE，由B₁D为三棱锥B₁-ADE的高，能求出三棱锥A-B₁DE的体积．
几何法：
（1）由已知条件推导出AA₁⊥平面ABC，AD⊥平面B₁BCC₁．从而得到B₁D⊥AD，再由勾股定理求出B₁D⊥DE，由此能证明B₁D⊥平面AED．
（2）过D做DM⊥AE于点M，连接B₁M．由已知条件推导出∠B₁MD为二面角B₁-AE-D的平面角，由此能求出二面角B₁-AE-D的余弦值．
（3）由（1）得AD为三棱锥A-B₁DE的高，且AD=2

2

，由此能求出三棱锥A-B₁DE的体积．

解答： （本小题满分13分）
向量法：
（1）证明：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
∵AB=AC=AA₁=4，∴A（0，0，0），B（4，0，0），
E（0，4，2），D（2，2，0），B₁（4，0，4）．（1分）
∴

B1D

=(-2，2，-4)，

AD

=(2，2，0)，

AE

=(0，4，2)．（2分）
∵

B1D

•

AD

=-4+4+0=0，∴

B1D

⊥

AD

，即B₁D⊥AD．（3分）
∵

B1D

•

AE

=0+8-8=0，∴

B1D

⊥

AE

，即B₁D⊥AE．（4分）
又AD、AE?平面AED，且AD∩AE=A，
∴B₁D⊥平面AED．（5分）
（2）解：由（1）知

B1D

=(-2，2，-4)为平面AED的一个法向量．（6分）
设平面 B₁AE的法向量为

n

=(x，y，z)，
∵

AE

=(0，4，2)，

AB1

=(4，0，4)，
∴由

n • AE =0 n • AB1 =0

，得

4y+2z=0 4x+4z=0

，
令y=1，得x=2，z=-2．即

n

=(2，1，-2)．（7分）
∴cos＜

n

，

B1D

＞=

n • B1D

| n |•| B1D |

=

6

9 × 24

=

6

6

，（8分）
∴二面角B₁-AE-D的余弦值为

6

6

．（9分）
（3）解：∵

AD

=(2，2，0)，

DE

=(-2，2，2)，
∴

AD

•

DE

=0，∴AD⊥DE．（10分）
由|

AD

|=2

2

，|

DE

|=2

3

，得S△ADE=

1

2

×2

2

×2

3

=2

6

．（11分）
由（1）得B₁D为三棱锥B₁-ADE的高，且|

B1D

|=2

6

，（12分）
∴VA-B1DE=VB1-ADE=

1

3

×2

6

×2

6

=8．（13分）
几何法：
（1）证明：依题意得，AA₁⊥平面ABC，
B1C1=BC=

AB2+AC2

=4

2

，AD=BD=CD=2

2

，
BB₁=CC₁=4，EC=EC₁=2．
∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC．
∵B₁B⊥平面ABC，AD?平面ABC，∴AD⊥B₁B．
BC、B₁B?平面B₁BCC₁，且BC∩B₁B=B，
∴AD⊥平面B₁BCC₁．
又B₁D?平面B₁BCC₁，∴B₁D⊥AD．（2分）
由B1E2=B1

C

2 1

+E

C

2 1

=36，B1D2=B1B2+BD2=24，
DE²=DC²+EC²=12，
得B1E2=B1D2+DE2，∴B₁D⊥DE．（4分）
又AD、DE?平面AED，且AD∩DE=E，
∴B₁D⊥平面AED．（5分）
（2）解：过D做DM⊥AE于点M，连接B₁M．
由B₁D⊥平面AED，AE?平面AED，得AE⊥B₁D．
又B₁D、DM?平面B₁DM，且B₁D∩DM=D，∴AE⊥平面B₁DM．
∵B₁M?平面B₁DM，∴B₁M⊥AE．
∴∠B₁MD为二面角B₁-AE-D的平面角．（7分）
由（1）得，AD⊥平面B₁BCC₁，又DE?平面B₁BCC₁，∴AD⊥DE．
在Rt△AED中，DM=

AD•DE

AE

=

2 30

5

，（8分）
在Rt△B₁DM中，B1M=

B1D2+DM2

=

12 5

5

，
∴cos∠B1MD=

DM

B1M

=

6

6

，
∴二面角B₁-AE-D的余弦值为

6

6

．（9分）
（3）解：由（1）得，AD⊥平面B₁BCC₁，
所以AD为三棱锥A-B₁DE的高，且AD=2

2

．（10分）
由（1）得S△B1DE=

1

2

B1D•DE=

1

2

×2

6

×2

3

=6

2

．（11分）
∴VA-B1DE=

1

3

S△B1DE•AD=

1

3

×6

2

×2

2

=8．（13分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．