Question

【题目】已知椭圆E的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若椭圆右焦点到直线x﹣y+2 =0的距离为3 （Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（k≠0）与该椭圆交于不同的两点B，C，若坐标原点O到直线l的距离为 ，求△BOC面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）设椭圆的标准方程为： +y2=1．右焦点F（c，0）． 则 =3，解得c= ．
∴a2= =3．
∴椭圆E的方程为 +y2=1．
（II）由坐标原点O到直线l的距离为 ，∴ = ，化为：4m2=3k2+3．
设B（x1 ， y1），C（x2 ， y2）．
联立 ，化为：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0．
△＞0，∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
∴|BC|= =
= = ，
∴S△BOC= ×|BC|= = ×
= ≤ = ，
当且仅当k= 时取等号．
∴△BOC面积的最大值是
【解析】（I）设椭圆的标准方程为： +y2=1．右焦点F（c，0）．则 =3，解得c．可得a2=1+c2 ． （II）由坐标原点O到直线l的距离为 ，可得：4m2=3k2+3．设B（x1 ， y1），C（x2 ， y2）．直线方程与椭圆方程联立化为：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0．可得|BC|= ，利用S△BOC= ×|BC|，及其基本不等式的性质即可得出．
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．