Question

【题目】已知椭圆 的左、右焦点分别为、， 为椭圆的右顶点， ， 分别为椭圆的上、下顶点.线段的延长线与线段交于点，与椭圆交于点.（1）若椭圆的离心率为， 的面积为12，求椭圆的方程；（2）设 ，求实数的最小值.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率为，得是等腰直角三角形，再由勾股定理及椭圆定义得， ， ，因此，解得， .（2）因为，所以，即，再由直线的方程与直线的方程求出交点，可得P点坐标： ， ，最后代入椭圆方程化简得，转化为离心率 ，利用基本不等式求最小值.

试题解析：解：（1）是等腰直角三角形，由勾股定理知，

解得，

， ， ，

则，即， .

所以椭圆的方程为.

（2）设，因为直线的方程为，直线的方程为，

所以联立方程解得.

因为，所以，所以，

所以，所以， ，

代入椭圆的方程，得，

即 ，

所以 ，

因为所以，所以当且仅当即时，

取到最小值.