Question

【题目】如图，四边形为菱形，四边形为平行四边形，设与相交于点， ．

（1）证明：平面平面；

（2）若与平面所成角为60°，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）根（1）要证面面垂直，需要找线面垂直，本题中重点分析线段，利用条件底面是菱形可得，通过全等可知，从而，故是平面的垂线，从而得证；（2）涉及二面角的计算，一般需要建系设点，计算平面的法向量，利用二面角与法向量夹角之间的关系处理，需要注意建系时分析清楚哪三条线互相垂直．

试题解析：

（1）证明：连接，

∵四边形为菱形，

∵，

在和中，

， ，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面；

（2）

解法一：过作垂线，垂足为，连接，易得为与面所成的角，

∴，

∵，

∴平面，

∴为二面角的平面角，

可求得，

在中由余弦定理可得： ，

∴二面角的余弦值为；

解法二：如图，在平面内，过作的垂线，交于点，由（1）可知，平面平面，

∴平面，

∴直线两两互相垂直，

分别为轴建立空间直角坐标系，

易得为与平面所成的角，∴，

则，

，

设平面的一个法向量为，则

且，

∴，且

取，可得平面的一个法向量为，

同理可求得平面的一个法向量为，

∴，

∴二面角的余弦值为．