Question

设椭圆的左、右焦点分别为F₁与F₂，直线y=x-1过椭圆的一个焦点F₂且与椭圆交于P、Q两点，若△F₁PQ的周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C经过伸缩变换变成曲线C'，直线l：y=kx+m与曲线C'相切且与椭圆C交于不同的两点A、B，若，且，求△OAB面积的取值范围．（O为坐标原点）

Answer 1

【答案】分析：（1）根据直线与x轴交点求得c，进而根据椭圆的定义求得|PF₁|+|PF₂|=2a，|QF₁|+|QF₂|=2a，根据△F₁PQ的周长求得a，则b可求得，进而求得椭圆的方程．
（2）根据题意可求得曲线C'的方程，整理得圆的方程，根据直线l与圆相切求得原点到直线的距离进而求得k和m的关系式，与椭圆方程联立设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根据判别式求得k的范围，依据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而根据直线方程表示出y₁y₂，进而根据m²=1+k²求得x₁+x₂和x₁x₂关于k的表达式，进而求得的表达式，根据λ的范围确定k的范围，根据弦长公式表示出|AB|，根据k的范围确定|AB|的范围，进而利用|AB|表示出△OAB面积求得△OAB面积的取值范围．
解答：解：（1）依题意y=x-1与x轴交于点F₂（1，0）
即c=1．
又|PF₁|+|PF₂|=2a，|QF₁|+|QF₂|=2a
所以|PF₁|+|PQ|+|QF₁|=|PF₁|+|PF₂|+|QF₂|+|QF₁|=4a∴，∴b²=a²-c²=1
所以椭圆C的方程为
（2）依题意曲线C'的方程为
即圆x'²+y'²=1．
因为直线l：y=kx+m与曲线C'相切，
所以，
即m²=k²+1．
由
得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
所以△＞0，即k²＞0，
所以k≠0．
所以
所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=
又m²=1+k²
所以
所以
又
所以，
所以
又
设u=k⁴+k²
因为，所以
在上为递增函数，
所以
又O到AB的距离为1，
所以
即△OAB的面积的取值范围为
点评：本题主要考查了圆锥曲线的综合性问题，考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．