Question

过点P（1，3）的动直线交圆C：x²+y²=4于A、B两点，分别过A、B作圆C的切线，如果两切线相交于点Q，那么点Q的轨迹为（　　）

A．直线的一部分

B．直线

C．圆的一部分

D．射线

Answer 1

分析：根据圆的对称性可得Q点是经过C点垂直于AB的直线与A点切线的交点．由此设A（m，n），Q（x，y），根据圆的切线的性质与直线斜率公式，分别求出直线AQ、CQ方程，两个方程消去m、n得关于x、y的一次方程，即为点Q轨迹所在直线方程，再根据图形可得直线与圆C相交而Q不可能在圆上或圆内，可得Q轨迹是直线的一部分．

解答：解：设A（m，n），Q（x，y），根据圆的对称性可得
Q点是经过C点垂直于AB的直线与A点切线的交点
∵圆x²+y²=4的圆心为C（0，0）
∴切线AQ的斜率为k₁=-

1

kAC

=-

m

n

，得
得AQ方程为y-n=-

m

n

（x-m），化简得y=-

m

n

x+

4

n

…①
又∵直线PA的斜率k_PA=

3-n

1-m

，
∴直线CQ的斜率k₂=-

1

kPA

=

m-1

3-n

，
得直线CQ方程为y=

m-1

3-n

x…②
①②联解，消去m、n得x+3y-4=0，即为点Q轨迹所在直线方程
由于直线x+3y-4=0与圆C：x²+y²=4相交，所以直线位于圆上或圆内的点除外
故选：A

点评：本题给出定点P与圆C，求过P的圆的割线构成的两条切线的交点Q的轨迹．着重考查了圆的性质、直线的基本量与基本形式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．