Question

已知向量

m

=(sin2x，2cos2x)，

n

=(sinφ，cosφ)其中0＜φ＜π，函数f(x)=

m

•

n

-1-sin(

π

2

+φ)的一个零点是

π

6

．
（1）求φ的值；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的向量的坐标和函数式，写出f（x）的表达式，根据函数有一个零点，把x的值代入求出φ．也得到了函数的解析式．
（2）根据上一问所得的函数解析式，写出经过平移以后的解析式，根据所给的函数的自变量的取值，做出函数的值域，写出函数的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵向量

m

=(sin2x，2cos2x)，

n

=(sinφ，cosφ)
∴函数f(x)=

m

•

n

-1-sin(

π

2

+φ)=sin2xsinφ+2cos²xcosφ-1-cosφ
=sin2xsinφ+cos2xcosφ-1=sin（2x+φ）-1
∵函数f(x)=

m

•

n

-1-sin(

π

2

+φ)的一个零点是

π

6

．
∴sin（2×

π

6

+φ）-1=0，
∴φ=

π

6

（2）由上一问可以得到f（x）=sin（2x+

π

6

）-1
将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象
∴g（x）=sin（4x+

π

6

）-1
∵x∈[

π

6

，

π

4

]，
∴4x+

π

6

∈[

5π

6

，

7π

6

]
∴g（x）的值域是[-

3

2

，-

1

2

]
即函数的最大值是-

1

2

，最小值是-

3

2

点评：本题考查确定函数的解析式，本题解题的关键是对所给的函数式的整理，这是后面能够做对题目的关键之处，本题是一个综合题目．