题目内容
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，关于△ABC的面积，有如下公式成立：S△ABC=
absin∠C=
acsin∠B=
bcsin∠A
试用上述公式，解答下题：
矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，E是BC的中点，如图．动点P以每秒2cm的速度从A出发，沿△AED的边按A→E→D→A的顺序绕行一周，设P点从A出发经过x秒后△APD的面积为ycm2，求x与y的关系．
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试用上述公式，解答下题：
矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，E是BC的中点，如图．动点P以每秒2cm的速度从A出发，沿△AED的边按A→E→D→A的顺序绕行一周，设P点从A出发经过x秒后△APD的面积为ycm2，求x与y的关系．
分析：由E为BC的中点，得到BE=CE，再根据ABCD为矩形，得到对边AB与CD相等，∠B和∠C都为直角，利用SAS可证明三角形ABE与三角形DCE全等，可得对应边AE与DE相等，根据等边对等角可得一对角相等，由两直线平行，内错角相等得到一对内错角相等，在三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出sin∠AEB的值，进而确定出sin∠EAD与sin∠EDA的值，利用分三种情况考虑：当P在AE上，P在DE上级P在AD上时，利用三角形的面积公式即可表示出y与x的函数关系式．
解答：解：∵E为BC的中点，且BC=6cm，
∴BE=EC=
BC=3cm，
又四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，又BE=CE，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA，
又△ABE为直角三角形，AB=4cm，BE=3cm，
根据勾股定理得：AE=5cm，
∴AE=DE=5cm，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EDA，
∴sin∠EAD=sin∠EDA=sin∠AEB=
=
，
当P在AE上时，0≤x≤
=
，
此时y=
AP•AD•sin∠PAD=
×2x×6×
=
x；
当P在ED上时，
≤x≤
=5，
此时y=
AD•DP•sin∠ADP=
×6×（10-2x）×
=-
x+24；
当P在DA边上时，5＜x≤8，S△APO=0，
综上所述，x与y之间的函数关系为：
y=
∴BE=EC=
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又四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，又BE=CE，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE=DE，
∴∠EAD=∠EDA，
又△ABE为直角三角形，AB=4cm，BE=3cm，
根据勾股定理得：AE=5cm，
∴AE=DE=5cm，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EDA，
∴sin∠EAD=sin∠EDA=sin∠AEB=
| AB |
| AE |
| 4 |
| 5 |
当P在AE上时，0≤x≤
| AE |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
此时y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
当P在ED上时，
| 5 |
| 2 |
| 2DE |
| 2 |
此时y=
| 1 |
| 2 |
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| 4 |
| 5 |
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| 5 |
当P在DA边上时，5＜x≤8，S△APO=0，
综上所述，x与y之间的函数关系为：
y=
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点评：此题属于根据实际问题选择函数类型的题，涉及的知识有：矩形的判定与性质，锐角三角函数定义，三角形的面积公式，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，是一道综合性较强的题．
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