Question

若数列{a_n}满足：对任意n∈N^*，只有有限个正整数m，使得a_m＜n成立，记这样的m的个数为（a_m）^*，则得到一悠闲的数列{（a_m）^*}，例如，若数列{a_n}是1，2，3，…，n，…，则得数列{（a_m）^*}是0，1，2，…，n-1，…，已知对任意的n∈N^*，a_n=n²，则（（a₂₀₁₅）^*）^*=（　　）

• A、2014²
• B、2014
• C、2015²
• D、2015

Answer 1

考点：等差数列的性质,等比数列的性质

专题：新定义,等差数列与等比数列

分析：由题设条件能推导出（（a₁）^*）^*=1，（（a₂）^*）^*=4，（（a₃）^*）^*=9，（（a₄）^*）^*=16，于是猜想：（（a_n）^*）^*=n²．由此能求出（（a₂₀₁₅）^*）^*．

解答：解：∵（a₁）^*=0，（a₂）^*=1，（a₃）^*=1，（a₄）^*=1，
（a₅）^*=2，（a₆）^*=2，（a₇）^*=2，（a₈）^*=2，（a₉）^*=2，
（a₁₀）^*=3，（a₁₁）^*=3，（a₁₂）^*=3，（a₁₃）^*=3，（a₁₄）^*=3，（a₁₅）^*=3，（a₁₆）^*=3，
∴（（a₁）^*）^*=1，（（a₂）^*）^*=4，（（a₃）^*）^*=9，（（a₄）^*）^*=16，
由此猜想：（（a_n）^*）^*=n²．
∴（（a₂₀₁₅）^*）^*=2015²．
故选：C．

点评：本题考查等差数列和等比数列的综合，考查了数列的性质和应用，关键是对题意的理解，是中档题．在选择题中合理地进行猜想，往往能有效地简化运算．