Question

已知等比数列{a_n}的公比是q,前n项和是S_n,是否存在常数c,使得数列{S_n+c}也成等比数列？若存在,求出c的值；若不存在,请说明理由.

Answer 1

思路解析:本题涉及前n项和是S_n,容易想到将其表示出来,但形式很复杂,不利于计算,要求使数列{S_n+c}也成等比数列的c的值,如果直接根据等比数列的定义来判断,显然也会很麻烦,此时可以先寻找使数列{S_n+c}也成等比数列的必要条件,即先考虑使前三项成等比数列的相应的c值,然后再检验当c取这些值时是否能保证题意满足.

解:假设存在常数c,使得数列{S_n+c}也成等比数列,

则有(S₁+c)(S₃+c)=(S₂+c)².

当q=1时,由(S₁+c)(S₃+c)=(S₂+c)²,得(a₁+c)(3a₁+c)=(2a₁+c)²,

即?a₁²=0,a₁=0这与a₁≠0矛盾,故当q=1时,不存在满足题意的常数c；

当q≠1时,由(S₁+c)(S₃+c)=(S₂+c)²,得

(a₁+c)［a₁(1+q+q²)+c］=［a₁(1+q)+c］²,

由此解得c=(q≠1),且当c=(q≠1)时,S_n+c=≠0,=q(q是不为零的常数),数列{S_n+c}也成等比数列.