Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₂a₃=a₄，a₁+a₂+a₃=21．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=1+log₂a_n（n∈N）b_n=1+log₂a_n（n∈N），求数列{

1

bnbn+1

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用已知条件列出方程求解，首项与公比，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）化简数列{

1

bnbn+1

}的通项公式，利用裂项法求解数列的前n项和S_n．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，由题意得

a 2 1 q3=a1q3 a1(1+q+q2)=21

（4分）
∵a₁＞0，q＞0，
∴解得a₁=1，q=4（6分）
∴{a_n}的通项公式为an=4n-1（7分）
（2）∵bn=1+log24n-1=1+log222n-2=2n-1（9分）
∴

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)（11分）
∴Sn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

（13分）

点评：本题考查数列求和的基本方法，裂项法的应用，基本知识的考查．