Question

直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．已知直线l的参数方程为

x= 1 2 +tcosα y=tsinα

（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρ=

2cosθ

sin2θ

．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（1）利用xx=ρcosθ，yy=ρsinθ即可化为直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入y²=2x，利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即可得出．

解答： 解：（1）由ρ=

2cosθ

sin2θ

，得（ρsinθ）²=2ρcosθ，
所以曲线C的直角坐标方程为y²=2x．
（2）将直线l的参数方程代入y²=2x，得t²sin²α-2tcosα-1=0．
设A、B两点对应的参数分别为t₁、t₂，则
t₁+t₂=

2cosα

sin2α

，t₁t₂=-

1

sin2α

，
∴|AB|=|t₁-t₂|=

2

sin2α

，当α=

π

2

时，|AB|取最小值2．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义等基础知识与基本技能方法，属于基础题．