题目内容

已知椭圆的两个焦点 $数学公式$ ，且椭圆短轴的两个端点与F₂构成正三角形．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使 $数学公式$ 恒为定值，求m的值．

解：（I）由题意可得 c= $\text{[math]}$ ，tan30°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴b=1，∴a=2，
故椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）设直线l的方程为 y-0=k（x-1），即 y=kx-k．
代入椭圆的方程化简可得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，
∴x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁•x₂= $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ =（m-x₁，-y₁ ）•（m-x₂，-y₂）=（m-x₁）（m-x₂）+y₁y₂
=（m²+k²）+（1+k²）x₁•x₂-（m+k²）（x₁+x₂）
=（m²+k²）+（1+k²） $\text{[math]}$ -（m+k²）（ $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ 恒为定值，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴m= $\text{[math]}$ ．
分析：（I）由题意得到 c= $\text{[math]}$ ，tan30°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可得b、a值，即得椭圆的方程．
（Ⅱ）用点斜式设出直线l的方程，代入椭圆的方程化简，得到根与系数的关系，代入 $\text{[math]}$ 的解析式化简得
$\text{[math]}$ 恒为定值，故有 $\text{[math]}$ ，从而解出m值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，一元二次方程根与系数的关系，由
$\text{[math]}$ 恒为定值，得到 $\text{[math]}$ ，是解题的关键和难点．