Question

【题目】已知函数（）．

（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（Ⅰ）， ………………1分

当时，令得或， ………………3分

（1）当时，，此时令，得或；令，得；

（2）当时，，；

（3）当时，，此时令，得或；

令，得，…6分

综上，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，在上为增函数；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为． ………………8分

（Ⅱ）若，恒成立，即，

化简分离参数得对恒成立，令，只需即可， ……10分

，在上有唯一极小值为，则， ……12分

所以，故实数的取值范围为． ………………13分

【命题意图】本题主要考查导数与函数的最值、导数与函数的单调性、不等式恒成立以及函数的定义域等，考查分离参数法、函数与方程思想、分类讨论思想以及基本的运算能力和逻辑推理能力等，是较难题．