Question

已知O为平面直角坐标系的原点，过点M（-2，0）的直线l与圆x²+y²=1交于P、Q两点，且

OP

•

OQ

=-

1

2

．
（Ⅰ）求∠PDQ的大小；
（Ⅱ）求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由点P、Q在圆上可知|

OP

|=|

OQ

|=1，由

OP

•

OQ

=-

1

2

利用向量数量积运算可得cos∠POQ，由此可得答案；
（Ⅱ）易知直线存在斜率，设直线l：y=k（x+2）．由（Ⅰ）知点O到直线l的距离为

1

2

，根据点到直线的距离公式可得关于k的方程，解出k代入直线方程即可；

解答：解：（Ⅰ）因为P、Q两点在圆x²+y²=1上，所以|

OP

|=|

OQ

|=1，
因为

OP

•

OQ

=-

1

2

，所以

OP

•

OQ

=|

OP

||

OQ

|•cos∠POQ=-

1

2

．
所以∠POQ=120°． 
（Ⅱ）依题意，直线l的斜率存在，
因为直线l过点M（-2，0），可设直线l：y=k（x+2）．
由（Ⅰ）可知O到直线l的距离等于

1

2

．
所以

|2k|

k2+1

=

1

2

，解得k=±

15

15

，
所以直线l的方程为x-

15

y+2=0或x+

15

y+2=0．

点评：本题考查平面向量数量积的运算、直线与圆相交的性质，属中档题．