Question

（2009•浦东新区一模）已知f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，g（x）=f（x-2）+1．当x∈[-2，0）∪（0，2]时，g(x)=

4

x2

，且g（0）=0，则方程g(x)=log

1

2

(x+1)的解的个数为

4

．

Answer 1

分析：根据f（x）是定义在[-4，4]上的奇函数，g（x）=f（x-2）+1．当x∈[-2，0）∪（0，2]时，g(x)=

4

x2

，确定出g（x）的解析式，再根据对数函数，可的答案

解答：解：f（x）是定义在[-4，4]，g（x）定义在[-2，6]，

4

x2

=f（x-2）+1，f（x-2）=

4

x2

- 1
此时x-2∈[-4，-2）u（-2，0]，f（2-x）=1-

4

x2

，2-x∈[0，2）u（2，4]
设t=2-x，f（t）=1-

4

(t-2)2

，当x∈[2，4）u（4，6]时，g（x）=f（x-2）+1
此时的x-2即可整体代换前面的t
2-

4

(x-4)2

，然后因为g（0）=0=f（-2）+1，g（4）=f（2）+1=2，利用g（x）定义在[-2，6]上的解析式，及log

1

2

(x+1)，即可得出答案为4，故答案为4．

点评：本题主要考查了函数的周期性，对称性．由于函数在不同区间的解析式不同，故要特别留意x的范围．