题目内容

（2009•浦东新区一模）如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10
3
米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若sinθ+cosθ=
3
+1
2
，求此时管道的长度L；
（3）问：当θ取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度．
分析：（1）由∠BHE=θ，H是AB的中点，易得EH=
10
cosθ
，FH=
10
sinθ
，EF=
EH2+FH2
=
10
sinθcosθ
(0＜θ＜
π
2
)，由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数．
（2）若sinθ+cosθ=
3
+1
2
，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值．
（3）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论．
解答：解：（1）EH=
10
cosθ
，FH=
10
sinθ
…（2分）EF=
10
sinθcosθ
…（4分）
由于BE=10•tanθ≤10
3
，AF=
10
tanθ
≤10
3
3
3
≤tanθ≤
3
，θ∈[
π
6
，
π
3
]…（5分）L=
10
cosθ
+
10
sinθ
+
10
sinθ•cosθ
，θ∈[
π
6
，
π
3
]…（6分）
（2）sinθ+cosθ=
3
+1
2
时，sinθcosθ=
3
4
，…（8分）L=20(
3
+1)；…（10分）
（3）L=
10
cosθ
+
10
sinθ
+
10
sinθ•cosθ
=10(
sinθ+cosθ+1
sinθ•cosθ
)
设sinθ+cosθ=t则sinθ•cosθ=
t2-1
2
…（12分）
由于θ∈[
π
6
，
π
3
]，所以t=sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)∈[
3
+1
2
，
2
]…（14分）L=
20
t-1
在[
3
+1
2
，
2
]内单调递减，于是当t=
2
时θ=
π
4
．L的最小值20(
2
+1)米．…（15分）
答：当θ=
π
4
时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为20(
2
+1)米…（16分）
点评：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出L关于θ的函数，是解答本题的关键．
练习册系列答案
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limn→∞
Sn=
16
16
．
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π
π
．
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π
3
)；
第二组：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1．
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1
2
x，a=2，b=1，生成函数h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．
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1
x
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3
 ， c=2，且
.
sinCsinB0
0b-2c
cosA01
.
=0，求△ABC的面积．

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