Question

设函数f(x)＝x²＋aln(x＋1)有两个极值点x₁，x₂，且x₁<x₂.
(1)求实数a的取值范围；
(2)当a＝时，判断方程f(x)＝－的实数根的个数，并说明理由．

Answer 1

（1）0<a<（2）方程f(x)＝－有且只有一个实数根

(1)由f(x)＝x²＋aln(x＋1)，可得f′(x)＝2x＋ (x>－1)．
令g(x)＝2x²＋2x＋a(x>－1)，则其对称轴为x＝－.由题意可知x₁，x₂是方程g(x)＝0的两个均大于－1的不相等的实数根，其充要条件为解得0<a< .
(2)由a＝可知x₁＝－，x₂＝－，从而易知函数y＝f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
①由y＝f(x)在上单调递增，且f＝＋·ln＝－ln 2>－，以及f＝＋·ln＝－－＋<－，故方程f(x)＝－在有且只有一个实根；
②由于y＝f(x)在上单调递减，在上单调递增，因此f(x)在上的最小值f＝＋·ln＝＋ln>－，故方程f(x)＝－在上没有实数根．
综上可知，方程f(x)＝－有且只有一个实数根