Question

已知函数，其中a，b∈R．
（Ⅰ），求f（x）的值域；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接根据特殊函数y=+x的单调性得到所求函数在[1，2]上的增减性，即可求出其值域；
（Ⅱ）先求出其导函数，讨论a和0的大小关系，找到导函数值为正和为负对应的区间，即可得到其单调性；
（Ⅲ）先由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值为与f（1）的较大者，问题转化为f（x）在上的最大值小于等于10恒成立；让与f（1）都小于等于10即可求出b的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=x++1
根据特殊函数y=+x的单调性得：函数在[，1]上递减，在[1，2]上递增；
而 f（1）=3，f（）=f（2）=
所以：f（x）∈[3，]，
（Ⅱ）解：．
当a≤0时，显然f'（x）＞0（x≠0）．这时f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上内是增函数．
当a＞0时，令f'（x）=0，解得．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x
f'（x）	+		-	-		+
f（x）	↗	极大值	↘	↘	极小值	↗

所以f（x）在，内是增函数，在，（0，+∞）内是减函数．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值为与f（1）的较大者，
对于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，
当且仅当，即，对任意的成立．
从而得，所以满足条件的b的取值范围是．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及恒成立问题．考查计算能力和分析问题的能力以及分类讨论思想的应用．