Question

如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面侧面，,，且满足.

（1）求证：；
（2）求点的距离；
（3）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）.

试题分析：（1）过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，然后根据条件平面侧面得到AD⊥平面A₁BC,从而得到AD⊥BC.再结合直三棱柱的定义得到AA₁⊥BC.所以BC⊥侧面A₁ABB₁，最后由线面垂直的定义得到结论；（2）BC、BA、BB₁所在的直线两两相互垂直，所以可建立空间直角坐标系，根据条件分别得到  所以,即点的距离；（3）分别计算平面 的法向量为及平面 的法向量.其中平面 的法向量易知可以为.然后再计算这两个法向量的夹角，则所求的二面角为该夹角或其补角.由图可知二面角的平面角为钝角，故应为此夹角的补角，所以算得其余弦值为.
试题解析：（1）证明：如右图，过点A在平面A₁ABB₁内作
AD⊥A₁B于D，则由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁,且平面A₁BC侧面A₁ABB₁=A₁B,得
AD⊥平面A₁BC,又BC平面A₁BC，所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，则AA₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥BC.
又AA₁AD=A,从而BC⊥侧面A₁ABB₁，
又AB侧面A₁ABB₁，故AB⊥BC.                               4分

（2）由（1）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB₁所在的直线分
别为x轴、y轴、z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，

B(0,0,0),  A(0,3,0),  C(3，0，0) ,  
有由，满足，
所以E(1，2，0), F(0，1，1)
  所以,
所以点的距离.                    8分
（3）设平面 的法向量为，易知平面 的法向量可以为.
由，令，可得平面 的一个法向量可为.设与的夹角为.则，易知二面角的平面角为钝角，故应为角的补角，所以其余弦值为.                                     12分