Question

已知函数y＝a^2x＋2a^x－1(a＞0且a≠1)在区间[－1，1]上有最大值14，求实数a的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：由y＝a2x＋2ax－1得y＝(ax)2＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，令ax＝t，则y＝(t＋1)2－2． 　　①当a＞1时，因为x∈[－1，1]，所以≤ax≤a，即≤t≤a． 　　因为函数y＝(t＋1)2－2的对称轴为t＝－1， 　　所以，当t＝a时，函数y＝(t＋1)2－2有最大值，即(a＋1)2－2＝14，解得a＝3． 　　②当0＜a＜1时，因为x∈[－1，1]，所以a≤ax≤，即a≤t≤． 　　所以，当t＝时，函数y＝(t＋1)2－2有最大值，即(＋1)2－2＝14，解得a＝． 　　综上所述，实数a的值为3或． 　　点评：这是一个函数综合问题，考查了指数函数与二次函数的性质，因此，在解综合问题时，一定要对涉及的知识点熟悉并能熟练运用．此外，注意一些数学思想的应用，本题中运用了分类讨论的数学思想，对底数a在(0，1)及(1，＋∞)上两种情况进行分类讨论，因为指数函数在这两个范围上的单调性完全不同．

提示：

分析：将已知函数y＝a2x＋2ax－1的解析式化为y＝(ax)2＋2ax－1，则令u＝ax，再利用二次函数的相关知识，结合指数函数的性质，即可得到解答．