Question

已知sinθ、cosθ是关于x的方程x²-ax+a=0的两个根（a∈R）,

（1）求sin³θ+cos³θ的值；

（2）求tanθ+cotθ的值.

Answer 1

解：涉及实系数一元二次方程实根问题，欲求二根的某种组合式的值，则韦达定理必被用上，此题的解题关键在于据韦达定理和同角三角函数关系式先求出实数a来.

依题意，方程判别式Δ≥0，

即（-a）²-4a≥0,∴a≤0或a≥4，

且

∴(sinθ+cosθ)²=1+2sinθcosθ=a²，

即a²-2a-1=0,∴a=1-(1+舍去)，

即sinθ+cosθ=sinθ·cosθ=1-.

(1)∴sin³θ+cos³θ

=(sinθ+cosθ)(sin²θ-sinθcosθ+cos²θ)

=(1-)［1-(1-)］=-2;

(2)∵tanθ+cotθ=

∴tanθ+cotθ=-1.