Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a1=

2

3

，且S2+

1

2

a2=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=log3

a 2n

4

，求数列{

1

bn•bn+2

}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）设等比数列的公比为q，由题意a1=

2

3

，S2+

1

2

a2=1，
所以

2

3

+

2

3

q+

1

2

•

2

3

q=1，即q=

1

3

，
因此an=a1•qn-1=

2

3

•(

1

3

)n-1=

2

3n

．（6分）
（2）bn=log3

a 2n

4

=log33-2n=-2n，
所以

1

bn•bn+2

=

1

2n•2(n+2)

=

1

4

•

1

n(n+2)

=

1

8

(

1

n

-

1

n+2

)，
Tn=

1

8

(

1

1

-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)=

1

8

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

8

(

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)．（12分）