题目内容

已知向量 $数学公式$ =（ $数学公式$ sin $数学公式$ ，1）， $数学公式$ =（cos $数学公式$ ，cos² $数学公式$ ）．记f（x）= $数学公式$
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求当x∈（0，π）时，函数f（x）的值域．

解：（1）f（x）= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ +cos^₂ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$
=sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ．
最小正周期为T= $\text{[math]}$ =4π．
由2kπ- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，（k∈Z）．
∴4kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤4kπ+ $\text{[math]}$ ，
函数递增区间为[4kπ- $\text{[math]}$ ，4kπ+ $\text{[math]}$ ]（k∈Z）．
（2）x∈（0，π），∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ ＜sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）≤1，
∴f_max∈（1， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）由向量 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ ，1）， $\text{[math]}$ =（cos $\text{[math]}$ ，cos² $\text{[math]}$ ）．f（x）= $\text{[math]}$ 根据平面向量的数量积公式，结合降幂公式（二倍角公式逆用）及辅助角公式，将函数的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的性质，即可求出函数的周期，求出函数f（x）的单调递增区间；
（2）由（1）中函数的解析式，结合x的范围，求出相位的范围，直接求解函数的最值．
点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，正弦型函数的图象和性质，根据平面向量的数量积公式和辅助角公式，求出函数的解析式是解答本题的关键．