Question

设函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围（　　）

A．k＜ 1 3

B．0＜k≤ 1 3

C．0≤k≤ 1 3

D．k≤ 1 3

Answer 1

f'（x）=3kx²+6（k-1）x，
∵函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在区间（0，4）上是减函数，
∴f'（x）=3kx²+6（k-1）x≤0在区间（0，4）上恒成立
当k=0时，成立
k＞0时，f'（4）=12k+6（k-1）×4≤0，即0＜k≤

1

3

k＜0时，f'（4）=12k+6（k-1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0
故k的取值范围是k≤

1

3

故选D．