题目内容
13．
如图：在边长为6米的等边△ABC钢板内，作一个△DEF，使得△DEF的三边到△ABC所对应的三边之间的距离均x（0＜x＜$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$）米，过点D分别向AB，AC边作垂线，垂足依次为G，H；过点E分别向AB，BC边作垂线，垂足依次为M，N；过点F分别向BC，AC边作垂线，垂足依次为R，S．接着在△ABC的三个内角处，分别沿DG，DH、EM，EN、FR，FS进行切割，割去的三个全等的小四边形分别为AGDH、BMEN、CRFS．然后把矩形GDEM、NEFR、SFDH分别沿DE、EF、FD向上垂直翻折，并对翻折后的钢板进行无缝焊接（注：切割和无缝焊接过程中的损耗和费用忽略不计），从而构成一个无盖的正三棱柱蓄水池．（1）若此无盖的正三棱柱蓄水池的侧面和底面造价均为a（a＞0）万元/米2，求此无盖的正三棱柱蓄水池总造价的最小值；
（2）若此无盖的正三棱柱蓄水池的体积为V米3，求体积V的最大值．
分析 （1）连接BE，求出EN，设此无盖长方体蓄水池的总造价为y（万元），写出y的表达式，然后求解最小值．（2）写出无盖长方体蓄水池的体积，利用公式的导数，判断函数的单调性求解最值即可．
解答 
（本小题满分16分）
解：（1）连接BE，由题意可知，在RT△BEN中，
∵EN=x（米），∠EBN=30°
∴$tan{30^0}=\frac{EN}{BN}$，即$BN=\sqrt{3}x（米）$，…（2分）
即正△DEF的边长为$6-2\sqrt{3}x（米）$，…（3分）
若设此无盖长方体蓄水池的总造价为y（万元），
则$y=[\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（6-2\sqrt{3}x）^2}+3（6-2\sqrt{3}x）•x]•a$（$0＜x≤\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$）…（5分）
=[$-3\sqrt{3}{x^2}+9\sqrt{3}$]•a
当$x=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}（m）$时，${y_{min}}=5\sqrt{3}a$（万元）
即此无盖长方体蓄水池总造价的最小值为$5\sqrt{3}a$（万元）…（8分）
（2）由题意可知，此无盖长方体蓄水池的体积为：
$V=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（{6-2\sqrt{3}x}）^2}•x=\sqrt{3}（{3{x^3}-6\sqrt{3}{x^2}+9x}）$（$0＜x≤\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$），…（10分）
则V'=$\sqrt{3}（{9{x^2}-12\sqrt{3}x+9}）=3\sqrt{3}（{\sqrt{3}x-3}）（{\sqrt{3}x-1}）$，
令V'=0，并解之得$x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}，x=\sqrt{3}∉（{0，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$，…（12分）
当$x∈（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$时，V'＞0，即函数V（x）在$x∈（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$为单调递增函数，
当$x∈[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$时，V'＜0，即函数V（x）在$x∈[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$为单调递减函数，
则当$x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（米）$时，${V_{max}}=4（{米^3}）$，…（15分）
即此无盖长方体蓄水池的体积V的最大值为4（m3）． …（16分）
点评 本题考查函数与方程的应用，函数的最值，函数的导数与函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．
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导学与测试系列答案| 运动时间 （单位：小时） | $[0，\frac{1}{6}）$ | $[\frac{1}{6}，\frac{1}{3}）$ | $[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$ | $[\frac{1}{2}，\frac{2}{3}）$ | $[\frac{2}{3}，\frac{5}{6}）$ | $[\frac{5}{6}，1）$ |
| 总人数 | 10 | 18 | 22 | 25 | 20 | 5 |
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表：
| 课外体育不达标 | 课外体育达标 | 合计 | |
| 男 | |||
| 女 | 10 | 55 | |
| 合计 |
附：${Χ^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
| 参考数据 | 当Χ2≤2.706时，无充分证据判定变量A，B有关联，可以认为两变量无关联； |
| 当Χ2＞2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联； | |
| 当Χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联； | |
| 当Χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联． |
| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{12}$ | C． | $\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
如图，用X、Y、Z这3类不同的元件连接成系统N，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，已知元件X、Y、Z正常工作的概率依次为0.8、0.7、0.9，则系统N正常工作的概率是0.776．| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| p | $\frac{1}{120}$ | x | y | z | $\frac{1}{5}$ |
（2）求m，n的值；
（3）求数学期望Eξ．
| A． | $\frac{1}{6}$ | B． | $\frac{1}{5}$ | C． | $\frac{4}{5}$ | D． | $\frac{5}{6}$ |
| A． | 3 | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | -3 | D． | $-\frac{1}{3}$ |