题目内容
（1）山水城市镇江有“三山”--金山、焦山、北固山，一位游客游览这三个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这三个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望；（2）某城市有n（n为奇数，n≥3）个景点，一位游客游览每个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这n个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望．
【答案】分析：（1）游客游览景点个数为0，1，2，3，ξ可能取值为：1，3，ξ=1表示游览一个景点或游览两个景点，ξ=3表示游览景点数为0或游览了三个景点，根据n次独立重复试验中事件发生k的概率公式即可求得P（ξ=1），P（ξ=3），进而得到分布列和期望；
（2）当n=2k+1，k∈N*时，游客游览景点个数可能为：0，1，2，…，2k+1，则ξ可能取值为：1，3，5，…，2k+1．根据独立重复试验中事件A发生k次的概率计算公式求出ξ取各值是的概率，表示出Eξ=（2k+1-0）×2×
+[（2k+1-1）-1]×2×
+[（2k+1-2）-2]×2×
+…+[2k+1-k）-k]×2×
，分组后利用性质
=n
（i=1，2，3，…，n）对上式即可进行化简，最后再换为n即可；
解答：解：（1）游客游览景点个数为0，1，2，3，ξ可能取值为：1，3，
P（ξ=1）=
+
=2
=
，
P（ξ=3）=
+
=2
=
，
ξ的分布列为：
所以Eξ=1×
+3×
=
．
（2）当n=2k+1，k∈N*时，游客游览景点个数可能为：0，1，2，…，2k+1，
ξ可能取值为：1，3，5，…，2k+1．
P（ξ=1）=
+
=2×
；
P（ξ=3）=
+
=
；
…
P（ξ=2k+1）=
+
=2×
，
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=（2k+1-0）×2×
+[（2k+1-1）-1]×2×
+[（2k+1-2）-2]×2×
+…+[2k+1-k）-k]×2×
=2×
{[（2k+1）
+2k
+（2k-1）
+…+（2k+1-k）
]-[（0×
+1
+2×
+…+
]}
=2×
{[（2k+1）×
+2k×
+（2k-1）×
+…+（k+1）
]-[0×
+1×
+…+
]}，
∵
=n
（i=1，2，3，…，n），
Eξ=2×
{（2k+1）×[
]-（2k+1）×[
]}
=2×
×（2k+1）×[（
）-（
+
）]
=2×
×（2k+1）×
=
．
答：ξ的数学期望Eξ为
．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列、期望，考查n次独立重复试验中事件A发生k的概率计算公式，考查组合数性质应用，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，本题综合性强，能力要求高，属难题．
（2）当n=2k+1，k∈N*时，游客游览景点个数可能为：0，1，2，…，2k+1，则ξ可能取值为：1，3，5，…，2k+1．根据独立重复试验中事件A发生k次的概率计算公式求出ξ取各值是的概率，表示出Eξ=（2k+1-0）×2×
+[（2k+1-1）-1]×2×
+[（2k+1-2）-2]×2×
+…+[2k+1-k）-k]×2×
，分组后利用性质
=n
（i=1，2，3，…，n）对上式即可进行化简，最后再换为n即可；解答：解：（1）游客游览景点个数为0，1，2，3，ξ可能取值为：1，3，
P（ξ=1）=
+
=2
=
，P（ξ=3）=
+
=2
=
，ξ的分布列为：
所以Eξ=1×
+3×
=
．（2）当n=2k+1，k∈N*时，游客游览景点个数可能为：0，1，2，…，2k+1，
ξ可能取值为：1，3，5，…，2k+1．
P（ξ=1）=
+
=2×
；P（ξ=3）=
+
=
；…
P（ξ=2k+1）=
+
=2×
，∴ξ的分布列为：
∴Eξ=（2k+1-0）×2×
+[（2k+1-1）-1]×2×
+[（2k+1-2）-2]×2×
+…+[2k+1-k）-k]×2×
=2×
{[（2k+1）
+2k
+（2k-1）
+…+（2k+1-k）
]-[（0×
+1
+2×
+…+
]}=2×
{[（2k+1）×
+2k×
+（2k-1）×
+…+（k+1）
]-[0×
+1×
+…+
]}，∵
=n
（i=1，2，3，…，n），Eξ=2×
{（2k+1）×[
]-（2k+1）×[
]}=2×
×（2k+1）×[（
）-（
+
）]=2×
×（2k+1）×
=
．答：ξ的数学期望Eξ为
．点评：本题考查离散型随机变量的分布列、期望，考查n次独立重复试验中事件A发生k的概率计算公式，考查组合数性质应用，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，本题综合性强，能力要求高，属难题．
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