题目内容

（2013•江苏一模）（1）山水城市镇江有“三山”--金山、焦山、北固山，一位游客游览这三个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这三个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望；
（2）某城市有n（n为奇数，n≥3）个景点，一位游客游览每个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这n个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望．
分析：（1）游客游览景点个数为0，1，2，3，ξ可能取值为：1，3，ξ=1表示游览一个景点或游览两个景点，ξ=3表示游览景点数为0或游览了三个景点，根据n次独立重复试验中事件发生k的概率公式即可求得P（ξ=1），P（ξ=3），进而得到分布列和期望；
（2）当n=2k+1，k∈N*时，游客游览景点个数可能为：0，1，2，…，2k+1，则ξ可能取值为：1，3，5，…，2k+1．根据独立重复试验中事件A发生k次的概率计算公式求出ξ取各值是的概率，表示出Eξ=（2k+1-0）×2×(
1
2
)2k+1
C
0
2k+1
+[（2k+1-1）-1]×2×
C
1
2k+1
(
1
2
)2k+1+[（2k+1-2）-2]×2×
C
2
2k+1
(
1
2
)2k+1+…+[2k+1-k）-k]×2×
C
k
2k+1
(
1
2
)2k+1，分组后利用性质
iC
i
n
=n
C
i-1
n-1
（i=1，2，3，…，n）对上式即可进行化简，最后再换为n即可；
解答：解：（1）游客游览景点个数为0，1，2，3，ξ可能取值为：1，3，
P（ξ=1）=
C
2
3
(
1
2
)2(1-
1
2
)+
C
1
3
(
1
2
)1(1-
1
2
)2=2
C
1
3
(
1
2
)3=
3
4
，
P（ξ=3）=
C
3
3
(
1
2
)3+
C
3
3
(
1
2
)3=2
C
3
3
(
1
2
)3=
1
4
，
ξ的分布列为：
 
 所以Eξ=1×
3
4
+3×
1
4
=
3
2
．
（2）当n=2k+1，k∈N*时，游客游览景点个数可能为：0，1，2，…，2k+1，
ξ可能取值为：1，3，5，…，2k+1．
P（ξ=1）=
C
k
2k+1
(
1
2
)k(1-
1
2
)k+1+
C
k+1
2k+1
(
1
2
)k+1(1-
1
2
)k=2×(
1
2
)2k+1
C
k
2k+1
；
P（ξ=3）=
C
k-1
2k+1
(
1
2
)k-1(1-
1
2
)k+2+
C
k+2
2k+1
(
1
2
)k+2(1-
1
2
)k-1=2×(
1
2
)2k+1
C
k-1
2k+1
；
…
P（ξ=2k+1）=
C
0
2k+1
(
1
2
)0(1-
1
2
)2k+1+
C
2k+1
2k+1
(
1
2
)2k+1(1-
1
2
)0=2×(
1
2
)2k+1
C
0
2k+1
，
∴ξ的分布列为：

∴Eξ=（2k+1-0）×2×(
1
2
)2k+1
C
0
2k+1
+[（2k+1-1）-1]×2×
C
1
2k+1
(
1
2
)2k+1+[（2k+1-2）-2]×2×
C
2
2k+1
(
1
2
)2k+1+…+[2k+1-k）-k]×2×
C
k
2k+1
(
1
2
)2k+1
=2×(
1
2
)2k+1{[（2k+1）
C
0
2k+1
+2k
C
1
2k+1
+（2k-1）
C
2
2k+1
+…+（2k+1-k）
C
k
2k+1
]-[（0×
C
0
2k+1
+1
×C
1
2k+1
+2×
C
2
2k+1
+…+k
•C
k
2k+1
]}
=2×(
1
2
)2k+1{[（2k+1）×
C
2k+1
2k+1
+2k×
C
2k
2k+1
+（2k-1）×
C
2k-1
2k+1
+…+（k+1）
×C
k+1
2k+1
]-[0×
C
0
2k+1
+1×
C
1
2k+1
+…+k
•C
k
2k+1
]}，
∵
iC
i
n
=n
C
i-1
n-1
（i=1，2，3，…，n），
Eξ=2×(
1
2
)2k+1{（2k+1）×[
C
2k
2k
+C
2k-1
2k
+…
+C
k
2k
]-（2k+1）×[
C
0
2k
+C
1
2k
+…
+C
k-1
2k
]}
=2×(
1
2
)2k+1×（2k+1）×[（
C
2k
2k
+C
2k-1
2k
+…
+C
k
2k
）-（
C
0
2k
+C
1
2k
+…+
C
k-1
2k
）]
=2×(
1
2
)2k+1×（2k+1）×
C
k
2k

=
n
2n-1
C
n-1
2
n-1
．
答：ξ的数学期望Eξ为
n
2n-1
C
n-1
2
n-1
．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列、期望，考查n次独立重复试验中事件A发生k的概率计算公式，考查组合数性质应用，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，本题综合性强，能力要求高，属难题．
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