题目内容

双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则双曲线C的离心率为
7
7
．
分析：根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=
7
a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率．
解答：解：根据双曲线的定义，可得|BF1|-|BF2|=2a，
∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|
∴|BF1|-|BF2|=2a，即|BF1|-|AB|=|AF1|=2a
又∵|AF2|-|AF1|=2a，
∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，
∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°
∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|•|AF2|cos120°
即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×（-
1
2
）=28a2，解之得c=
7
a，
由此可得双曲线C的离心率e=
c
a
=
7

故答案为：
7
点评：本题给出经过双曲线左焦点的直线被双曲线截得弦AB与右焦点构成等边三角形，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的定义和简单几何性质等知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
设双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a，b＞0)的一条渐近线与抛物线x=y2的一个交点的横坐标为
x
 
0
，若
x
 
0
＞
1
2
，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）
（2012•兰州模拟）已知F为双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为直线x=-
a2
c
上一点，O为坐标原点，已知
OP
=
OF
+
OM
，且|
OF
|=|
OM
|，则双曲线C的离心率为（　　）
设双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（b＞a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为（　　）
（2013•浙江模拟）设双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，左右顶点分别为A1，A2，过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线相交于P，若P恰好在以A1A2为直径的圆上，则双曲线的离心率为
2
2
．
设P为双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的渐近线在第一象限内的部分上一动点，F为双曲线C的右焦点，A为双曲线C的右准线与x轴的交点，e是双曲线C的离心率，则∠APF的余弦的最小值为（　　）

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