Question

设双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a，b＞0)的一条渐近线与抛物线x=y²的一个交点的横坐标为

x

0

，若

x

0

＞

1

2

，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）

• A．(1，

  6

  2

  )
• B．(1，

  3

  )
• C．(

  3

  ，+∞)
• D．(

  6

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：将

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线方程与抛物线x=y²的联立，求得其交点坐标，利用交点的横坐标

x

0

＞

1

2

，即可求得双曲线C的离心率的取值范围．

解答：解：∵

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为：y=

b

a

x（另一条为y=-

b

a

x），
∴由

y= b a x y2=x

得：x=

a2

b2

或x=0（舍去），
∴这条渐近线与抛物线x=y²的一个交点的横坐标为

x

0

=

a2

b2

＞

1

2

，
∴2a²＞b²，又a²+b²=c²，
∴2a²＞c²-a²，
∴

c2

a2

＜3，又

c2

a2

＞1，
∴1＜

c2

a2

＜3，
∴1＜

c

a

＜

3

，
又离心率e=

c

a

，
∴1＜e＜

3

，
故选B．

点评：本题考查双曲线的简单性质，考查分析与计算能力，求得交点的横坐标

x

0

是关键，属于中档题．