Question

已知正三棱锥P—ABC的体积为72，侧面与底面所成的二面角的大小为60°.

(1)证明PA⊥BC；

(2)求底面中心O到侧面的距离.

Answer 1

(1)证明：取BC边的中点D，连结PD，则AD⊥BC，PD⊥BC，故BC⊥平面APD.?

∴PA⊥BC.?

(2)解析：如图，由(1)可知平面PBC⊥平面APD，则∠PDA是侧面与底面所成二面角的平面角.?

过点O作OE⊥PD，E为垂足，则OE就是点O到侧面的距离.?

设OE为h，由题意可知点O在AD上，∴∠PDO=60°,OP=2h.?

∵OD=,∴BC=4h.?

∴S_△ABC?=(4h)²=4h².?

∵72=×43h²×2h=h³,?

∴h=3,即底面中心O到侧面的距离为3.