Question

【题目】已知椭圆以原点为中心，左焦点的坐标是，长轴长是短轴长的倍，直线与椭圆交于点与，且、都在轴上方，满足；

（1）求椭圆的标准方程；

（2）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；

【解析】

（1）由题意设椭圆方程为：（），，即

代入即可求出值从而求出椭圆方程。（2）B关于轴的对称点在直线AF上，设直线AF的方程：，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，代入

和直线方程即可证明直线过定点。

（1）设椭圆的标准方程为：（），由题意得，即。又，代入即可求得，。

椭圆方程为：

（2）因为，所以

。

设，直线AB的方程为，将代入，

所以

即

即

代入韦达定理可得：

所以直线为

所以直线恒过。