题目内容
【题目】已知函数fk（x）=2x﹣（k﹣1）2﹣x（k∈Z），x∈R，g（x）= 
．
（1）若f2（x）=2，求x的值．
（2）判断并证明函数y=g（x）的单调性；
（3）若函数y=f0（2x）+2mf2（x）在x∈[1，+∞）上有零点，求实数m的取值范围．
【答案】
（1）解：由题意得： 
由题意， 
∴ 
，
∴（2x）2﹣2（2x）﹣1=0
∴ 
，或 
（舍去）∴ 
（2）解： 
，
∵当x变大时，4x+1变大， 
也变大，g（x）变大
∴g（x）在R上单调递增．
证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2
则f（x1）﹣f（x2）= 
= 
= 
= 
∴x1＜x2
∴ 
∴ 
， 
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在R上是增函数
（3）解：y=f0（2x）+2mf2（x）=22x+2﹣2x+2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2+2+2m（2x﹣2﹣x）
令t=2x﹣2﹣x，则t在R上单调递增．
∵x∈[1，+∞），∴ 
条件等价于 
在x∈[1，+∞）上有零点，
即： 
在 上有零点
令 
任取 
，
则 
∵ ∴ 
∴h（t1）﹣h（t2）＜0∴h（t1）＜h（t2）
∴h（t）在 
上单调递增
∴当 时， 
，即 
所以， 
【解析】1、由代入特殊值可得 f2 ( x ) = 2 x 2 x = 2 ∴ 2 x 1 2 x = 2 ，∴（2x）2﹣2（2x）﹣1=0，由指对互化可得结果。
2、由函数的增减性定义可得该函数为增函数。
3、整体思想代换令t=2x﹣2﹣x， t ≥ 
即 2 m = 
= t +
在 t ≥ 上有零点,.令 h ( t ) = t + ， t ∈ [ ， + ∞ ) 任取 3 2 ≤ t1 < t2 ,则 h ( t1 ) h ( t2 ) =
,由增减函数的定义可得h（t）在 [ ， + ∞ ) 上单调递增，所以， m ≤ 
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能得出正确答案．
