题目内容
【题目】在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB=AE，DB=DE，∠BAE=∠BDE=90°
（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；
（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．
【答案】
（1）解：设BE的中点为O，连结AO，DO，
∵AB=AE，BO=OE，∴AO⊥BE，同理DO⊥BE，
又∵平面ABE⊥平面BCDE，
平面ABE∩平面BCDE=BE，
∴AO⊥平面BCDE，
由题意，BE2=2AB2=2DB2，
∴AB=BD=DE=AE，
设AB=1，以B为原点，以BC为x轴，BD为y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（0，0，0），C（1，0，0），D（0，1，0），
E（﹣1，1，0），A（﹣ 
, ， 
），
则 
=（ 
）， 
=（﹣1，0，0），
∵cos＜ ， ＞= 
= 
=﹣ ，
∴ 与 的夹角为120°，
异面直线AB与DE所成角为60°．
（2）解：设平面ACE的法向量 
=（x，y，z），
=（ ）， 
=（﹣1，1，0），
则 
，取x=1，得 =（1，1，0），
设平面ABE的法向量为 
=（a，b，c），
=（ ）， 
，
则 
，取a=1，得 =（1，2， ），
设二面角B﹣AE﹣C的平面角为θ，
cosθ=|cos＜ ＞|= 
= 
．
∴二面角B﹣AE﹣C的余弦值为 
．
【解析】（1）设BE的中点为O，连结AO，DO，由已知得AO⊥BE，DO⊥BE，从而AO⊥平面BCDE，设AB=1，以B为原点，以BC为x轴，BD为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与DE所成角为60°．（2）求出平面ACE的法向量和平面ABE的法向量，由此利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣C的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角的相关知识点，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系才能正确解答此题．
