Question

5．函数f（x）=$\frac{3{x}^{2}+ax+1}{{x}^{2}+x+1}$在R上的值域是[$\frac{1}{3}$，3），求实数a的值．

Answer 1

分析 由题意，可将f（x）=$\frac{3{x}^{2}+ax+1}{{x}^{2}+x+1}$在R上的值域是[$\frac{1}{3}$，3），转化为关于x的不等式$\frac{1}{3}$≤$\frac{3{x}^{2}+ax+1}{{x}^{2}+x+1}$＜3在R上恒成立，从而得到关于a的不等式，即可求得a的值．

解答 解：由于函数f（x）=$\frac{3{x}^{2}+ax+1}{{x}^{2}+x+1}$=$\frac{（3{x}^{2}+3x+3）+（a-3）x-2}{{x}^{2}+x+1}$在R上的值域是[$\frac{1}{3}$，3），
则$\frac{1}{3}$≤$\frac{3{x}^{2}+ax+1}{{x}^{2}+x+1}$＜3，即$-\frac{8}{3}≤$$\frac{（a-3）x-2}{{x}^{2}+x+1}$＜0在R上恒成立，
由于x²+x+1＞0，则-8（x²+x+1）≤3[（a-3）x-2]＜0
由于-8（x²+x+1）≤3[（a-3）x-2]，即8x²+（3a-1）x+2≥0对任意的实数均成立，
则△=（3a-1）²-64≤0，解得-$\frac{7}{3}$≤a≤3；
由于3[（a-3）x-2]＜0对任意的实数均成立，则a=3
综上可知，a=3．

点评 本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及恒成立问题的转化，同时考查了计算能力，属于中档题．